搜索各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較
2017-05-08 by:CAE仿真在線 來源:互聯(lián)網(wǎng)
模態(tài)分析是計算或試驗分析固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型這些模態(tài)參數(shù)的過程。
模態(tài)分析的理論經(jīng)典定義:將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo),使方程組解耦,成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程,以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)變換的變換矩陣為模態(tài)矩陣,其每列為模態(tài)振型。
模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性一種近代方法,是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領(lǐng)域中的應(yīng)用。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性,每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得,這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態(tài)分析。這個分析過程如果是由有限元計算的方法取得的,則稱為計算模記分析;如果通過試驗將采集的系統(tǒng)輸入與輸出信號經(jīng)過參數(shù)識別獲得模態(tài)參數(shù),稱為試驗?zāi)B(tài)分析。通常,模態(tài)分析都是指試驗?zāi)B(tài)分析。振動模態(tài)是彈性結(jié)構(gòu)的固有的、整體的特性。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結(jié)構(gòu)物在某一易受影響的頻率范圍內(nèi)各階主要模態(tài)的特性,就可能預(yù)言結(jié)構(gòu)在此頻段內(nèi)在外部或內(nèi)部各種振源作用下實際振動響應(yīng)。因此,模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計及設(shè)備的故障診斷的重要方法。
模態(tài)分析最終目標(biāo)是在識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù),為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特性分析、振動故障診斷和預(yù)報以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。
(一)單自由度法
一般來說,一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是它的若干階模態(tài)振型的疊加。但是如果假定在給定的頻帶內(nèi)只有一個模態(tài)是重要的,那么該模態(tài)的參數(shù)可以單獨確定。以這個假定為根據(jù)的模態(tài)參數(shù)識別方法叫做單自由度(SDOF)法n1。在給定的頻帶范圍內(nèi),結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性的時域表達表示近似為:
2-1
而頻域表示則近似為:
2-2
單自由度系統(tǒng)是一種很快速的方法,幾乎不需要什么計算時間和計算機內(nèi)存。
這種單自由度的假定只有當(dāng)系統(tǒng)的各階模態(tài)能夠很好解耦時才是正確的。然而實際情況通常并不是這樣的,所以就需要用包含若干模態(tài)的模型對測得的數(shù)據(jù)進行近似,同時識別這些參數(shù)的模態(tài),就是所謂的多自由度(MDOF)法。
單自由度算法運算速度很快,幾乎不需要什么計算和計算機內(nèi)存,因此在當(dāng)前小型二通道或四通道傅立葉分析儀中,都把這種方法做成內(nèi)置選項。然而隨著計算機的發(fā)展,內(nèi)存不斷擴大,計算速度越來越快,在大多數(shù)實際應(yīng)用中,單自由度方法已經(jīng)讓位給更加復(fù)雜的多自由度方法。
1、峰值檢測
峰值檢測是一種單自由度方法,它是頻域中的模態(tài)模型為根據(jù)對系統(tǒng)極點進行局部估計(固有頻率和阻尼)。峰值檢測方法基于這樣的事實:在固有頻率附近,頻響函數(shù)通過自己的極值,此時其實部為零(同相部分最小),而虛部和幅值最大(相移達90°,幅度達峰值)圖1。出現(xiàn)極值的那個固有頻率就是阻尼固有頻率
的良好估計。相應(yīng)的阻尼比
,的估計可用半功率點法得到。設(shè)
和
分處在阻尼固有頻率的兩側(cè)(<<),則:
2-3
2-4
2、模態(tài)檢測
模態(tài)檢測是根據(jù)頻域中的模態(tài)模型對復(fù)模態(tài)(或?qū)嵞B(tài))向量進行局部估計的一種單自由度方法。在中略去剩余項則單個頻響函數(shù)在處的值近似為:
2-5
由此式可見,頻響函數(shù)在處的值乘以模態(tài)阻尼因
,就是留數(shù)(的估計值如圖1。利用這種模態(tài)檢測方法之前,先要估計出
3、圓擬合
圓擬合是一種單自由度方法,用頻域中的模態(tài)模型對系統(tǒng)極點和復(fù)模態(tài)(或?qū)嵞B(tài))向量進行局部估計。此方法依據(jù)事實是:單自由度系統(tǒng)的速度頻響函數(shù)(速度對力)在奈奎斯特圖(即實部對虛部)上呈現(xiàn)為一個圓。如果把其他模態(tài)的影響近似為一個復(fù)常數(shù),那么在共振頻率附近,頻響函數(shù)的基本公式為:
2-6
因此,首先要選擇共振頻率附近的一組頻率響應(yīng)點,通過這些點擬合成一個圓。阻尼固有頻率可以看成是復(fù)平面上數(shù)據(jù)點之間角度變化率最大(角間隔最大)的那個點的頻率,也可以看成是相位角與圓心的相位角最為接近的那個數(shù)據(jù)點的頻率。對于分得開的模態(tài)而言,二者的差別是很小。
阻尼比估計如下:
2-7
式中,:分居在兩側(cè)的兩個頻率點:
,
:分別為頻率點在和得半徑與得半徑之間的夾角。
圓的直徑和阻尼固有頻率點的角位置含有復(fù)留數(shù)U+jV的信息:
2-8
式中
:圓的直徑
:園心與固有頻率點的連線跟虛軸之間的夾角.
圓擬合法速度也很快,但為避免結(jié)果出錯,特別是在模態(tài)節(jié)點附近,需要操作者參與。
(二)單自由度與多自由度系統(tǒng)
粘性阻尼單自由度SDOF系統(tǒng)如圖2的力平衡方程式表示慣性力、阻尼力、彈性力與外力之間的平衡。
圖2 單自由度系統(tǒng)
2-9
其中M:質(zhì)量C: 阻尼K:
:加速度,速度,位移 f:外力 t時間變量,把結(jié)構(gòu)中所呈現(xiàn)出來的全部阻尼都近似為一般的粘性阻尼。
把上面的時間域方程變換到拉氏域復(fù)變量P,并假設(shè)初始位移和初始速度為零,則得到拉氏域方程:
,或
Z:動剛度經(jīng)過變換可得傳遞函數(shù)的定義,
即
2-10
上式右端的分母叫做系統(tǒng)特征方程,它的根即是系統(tǒng)的極點是:
2-11
如果沒有阻尼C=0,則所論系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。我們定義系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為:
2-4
臨界阻尼Cc的定義為使(2.3)式中根式項等于零的阻尼值:
2-5
而臨界阻尼分?jǐn)?shù)或阻尼比ζ1為:ζ1=CCc,阻尼有時也有用品質(zhì)因數(shù)即Q因數(shù)表示:
2-6
系統(tǒng)按阻尼值的大小可以分成過阻尼系統(tǒng)(ζ1>1)、臨界阻尼系統(tǒng)(ζ1=1)和欠阻尼系統(tǒng)(ζ1<1)。過阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)只含有衰減成分、沒有振蕩趨勢。欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)時一種衰減振動,而臨界阻尼系統(tǒng)則是過阻尼系統(tǒng)與欠阻尼系統(tǒng)之間的一種分界。
實際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于10%的,除非這些系統(tǒng)含有很強的阻尼機制,因此我們只研究欠阻尼的情形。
在欠阻尼的情況下式2-11兩個共軛復(fù)根:
,
2-7
其中
為阻尼因子
為阻尼固有頻率。有關(guān)系統(tǒng)極點的另外一些關(guān)系式有:
2-8
2-9
2-10
2-11
2-2式寫成 如下形式:
2-12
在展開成部分分式形式,則有:
,這里
2-13
這里的
和
是留數(shù)。
多自由度系統(tǒng)
多自由度系統(tǒng)可以用簡單的力平衡代數(shù)方程演化成形式相似的一個矩陣的方程。下面是以而自由度系統(tǒng)為例。如圖:
圖3 多自由度系統(tǒng)
該系統(tǒng)的運動方程如下:
2-14
寫成矩陣形式是
2-15
或者
2-16
其中[M]、[C]、[K]、{f(t)}和{x(t)}分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、方向量和響應(yīng)向量。把這個時間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量為p)且假定初始位移和初始速度為零,則得:
2-17
或者是
式中:[Z(p)]動剛度矩陣 2-18
可以得到傳遞函數(shù)矩陣為:
2-19
式中
:
的伴隨矩陣,等于
;
:
去掉第行第列后的行列式
;
傳遞函數(shù)矩陣含有幅值函數(shù)。
2-19式中的分母,即是的韓烈士,叫做系統(tǒng)的特征方程。與單自由度情況一樣,系統(tǒng)特征方程的根,即系統(tǒng)極點,決定系統(tǒng)的共振頻率。根據(jù)特征值問題,可以求出系統(tǒng)特征方恒的根。為了把系統(tǒng)方程2-17轉(zhuǎn)化為一般的特征值問題公式,加入下面的恒等式:
2-20
將此式與2-17式結(jié)合在一起得:
2-21
其中
,
,
,
。
如果力函數(shù)等于零,那么式2-19就成了關(guān)于實值矩陣的一般特征值問題,其特征值馬祖下列方程的p值:
2-22
它的根就是特征方程
的根。對于N各自由度系統(tǒng),此方程有2N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征根:
2-23
同單自由度系統(tǒng)一樣,多自由度系統(tǒng)的極點的實部是阻尼因子,虛部是阻尼固有頻率。
(三)實模態(tài)和復(fù)模態(tài)
按照模態(tài)參數(shù)(主要指模態(tài)頻率及模態(tài)向量)是實數(shù)還是復(fù)數(shù),模態(tài)可以分為實模態(tài)和復(fù)模態(tài)。對于無阻尼或比例阻尼振動系統(tǒng),其各點的振動相位差為零或180度,其模態(tài)系數(shù)是實數(shù),此時為實模態(tài);對于非比例阻尼振動系統(tǒng),各點除了振幅不同外相位差也不一定為零或180度,這樣模態(tài)系數(shù)就是復(fù)數(shù),即形成復(fù)模態(tài)。
1 復(fù)模態(tài)與實模態(tài)理論
在擬合頻段, 實模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在 k點激勵 Z 點響應(yīng)的留數(shù)表達式為
(1)
其中,
為留數(shù);和
構(gòu)成的復(fù)數(shù)為系統(tǒng)的復(fù)特征值
:
擬合頻段復(fù)模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在 k點激勵 f 點響應(yīng)的留數(shù)表達式為
(2)
由(1)、(2)式中可以看出,傳遞函數(shù)共振峰處復(fù)模態(tài)的相位與實模態(tài)相位的差別在于多出的復(fù)留數(shù)相位
,由傳遞函數(shù)的逆變換可以得到脈沖響應(yīng)函數(shù),由此可以得到物理坐標(biāo)系中結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)表達式。
對于無阻尼結(jié)構(gòu),t時刻第r階模態(tài)k點的振動為
(3)
粘性比例阻尼:t時刻第r階模態(tài)k點的振動為
(4)
一般粘性阻尼:t時刻第r階模態(tài)k點的振動為
(5)
式中,φkr表示振型幅值;Ω表示模態(tài)頻率;θ表示相位角。
可以看出, 無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的初相位與初始條件有關(guān),與物理坐標(biāo)無關(guān), 具有模態(tài)( 振型) 保持性; 而一般粘性阻尼系統(tǒng)的初相位還與物理坐標(biāo) k 有關(guān), 每個物理坐標(biāo)振動時并不同時達到平衡位置和最大位置, 不具備模態(tài)保持性, 是行波形式.但各物理坐標(biāo)的相位差保持不變, 各點的振動周期、 衰減率仍保持相同 J .從物理坐標(biāo)點的自由響應(yīng)公式還可看出, 即使各測點留數(shù)為復(fù)數(shù), 但如果留數(shù)的相位差, 即振型的幅角相同, 那么還是可以得到振動周期內(nèi)形狀不變且節(jié)點固定的振型.這樣模態(tài)雖是復(fù)模態(tài), 但表現(xiàn)出實模態(tài)的性質(zhì).因此實模態(tài)理論的實振型與復(fù)模態(tài)理論中復(fù)模態(tài)的差別在于各測點峰值相位差的大小.
2 實模態(tài)提取方法
復(fù)模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)( 特征值和特征向量)均為復(fù)數(shù), 在進行結(jié)構(gòu)模型修正時大量采用復(fù)數(shù)矩陣和復(fù)數(shù)迭代運算,計算工作量大,效率低;實模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)為實數(shù),物理概念明確,后續(xù)結(jié)構(gòu)模型修正計算公式簡單,計算工作量小又節(jié)約空間,故實模態(tài)得到廣泛的應(yīng)用,實際測試得到的傳遞函數(shù)留數(shù)一般都為復(fù)數(shù),要由復(fù)模態(tài)經(jīng)過實模態(tài)提取技術(shù)才能得到實模態(tài)。復(fù)模態(tài)提取實模態(tài)的方法主要有:根據(jù)復(fù)模態(tài)的實部、虛部或相位確定實模態(tài)的傳統(tǒng)方法;I b r a h i m的 擴大模型法; C h e n的傳遞函數(shù)提取法等。目前的模態(tài)分析軟件中普遍使用的為傳統(tǒng)方法。由復(fù)模態(tài)實部或虛部獲得實模態(tài)向量的方法為:直接取復(fù)留數(shù)的實部或虛部作為實模態(tài)理論中的留數(shù),進行規(guī)格化得到實模態(tài)振型.
由復(fù)模態(tài)相位獲得實模態(tài)向量的方法為: 取復(fù)留數(shù)的幅值作為實模態(tài)理論中的留數(shù), 根據(jù)
的數(shù)值接近1或-1,將留數(shù)相位歸為90 °或-90 °,然后盡享振型規(guī)格化,得到實模態(tài)振型,此振型中各測點相位差即為0 °或180 °。用復(fù)模態(tài)理論獲得的復(fù)模態(tài)向量,由復(fù)振型的周期變化中t=0即振動達到最大幅度時的振幅之比表示。
三、模態(tài)分析的應(yīng)用與發(fā)展
模態(tài)分析技術(shù)的應(yīng)用可歸結(jié)為以下幾個方面:
1) 評價現(xiàn)有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)特性;
2) 在新產(chǎn)品設(shè)計中進行結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的預(yù)估和優(yōu)化設(shè)計;
3) 診斷及預(yù)報結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障;
4) 控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲;
5) 識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷。
對于實際的工程,用有限元軟件分析需要的頻率段,可查找振動原因,或校核。模態(tài)分析可以看出在那些頻率段需要防止或避免共振時很有用。
首先,頻率和振型是結(jié)構(gòu)的固有特性,任何結(jié)構(gòu)都可以進行模態(tài)分析;其次,結(jié)構(gòu)的功能是不同的,不同結(jié)構(gòu)對應(yīng)的模態(tài)分析的用途是有差別的。對建筑結(jié)構(gòu),模態(tài)分析可以知道結(jié)構(gòu)的避頻設(shè)計、用于抗震設(shè)計計算以及考慮動力荷載的放大作用等。另外,還可以挖掘振型有關(guān)的信息。
機器、建筑物、航天航空飛行器、船舶、汽車等的實際振動千姿百態(tài)、瞬息變化。模態(tài)分析提供了研究各種實際結(jié)構(gòu)振動的一條有效途徑。
首先,將結(jié)構(gòu)物在靜止?fàn)顟B(tài)下進行人為激振,通過測量激振力與胯動響應(yīng)并進行雙通道快速傅里葉變換(FFT)分析,得到任意兩點之間的機械導(dǎo)納函數(shù)(傳遞函數(shù))。用模態(tài)分析理論通過對試驗導(dǎo)納函數(shù)的曲線擬合,識別出結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù),從而建立起結(jié)構(gòu)物的模態(tài)模型。根據(jù)模態(tài)疊加原理,在已知各種載荷時間歷程的情況下,就可以預(yù)言結(jié)構(gòu)物的實際振動的響應(yīng)歷程或響應(yīng)譜。
模態(tài)分析軟件以美國的ME’ScopeVES的功能最為全面。ME’ScopeVES軟件的功能包括信號處理(signal Process ing)、運行撓曲振型(OperatingDeflection Shapes)、模態(tài)分析(Modal Analysi s)、結(jié)構(gòu)改正(SDM)和聲學(xué)分析(Acoustics Analysi S)等,解決和分析機器與結(jié)構(gòu)的振動噪聲問題。
主要可用于:
1、可以顯示被測物體的實際工作形態(tài)(0DS)、模態(tài)、聲學(xué)分布形態(tài)和工程數(shù)據(jù)的形態(tài)等;
2、模塊化結(jié)構(gòu)便于用戶根據(jù)自己的需要選擇合適的產(chǎn)品;
3、強大的圖形顯示、結(jié)構(gòu)編輯、數(shù)據(jù)處理及動畫顯示功能;
4、軟件的開放性好,能夠與全球的多家廠商的硬件兼容;
5、主要應(yīng)用的領(lǐng)域:航空航天、建筑橋梁、汽車制造、鋼鐵冶金、軍工裝備等。
模態(tài)分析與參數(shù)辨識作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的一種逆問題分析方法并在工程實踐中應(yīng)用是從60年代中、后期開始,至今已有近四十年的歷史了。這一技術(shù)首先在航空、宇航及汽車工業(yè)中開始發(fā)展。由于電子技術(shù)、信號處理技術(shù)與設(shè)備的發(fā)展,到80年代末這項技術(shù)已成為工程中解決結(jié)構(gòu)動態(tài)性能分析、振動與噪聲控制、故障診斷等問題的重要工具。目前這一技術(shù)已漸趨成熟。經(jīng)過二十余年的研究發(fā)展,到目前為止模態(tài)分析技術(shù)已在我國各個工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用,成為一種解決工程問題的重要手段。
在工程應(yīng)用方面模態(tài)分析已滲透到我國各個工程領(lǐng)域,并取得了不少成就。例如,某型火箭全裝置的實物模態(tài)試驗保證了火箭的準(zhǔn)確發(fā)射與導(dǎo)航,防止了發(fā)射的失敗;模態(tài)分析與參數(shù)識別技術(shù)曾被成功地用于解決某型航空發(fā)動機的嚴(yán)重振動故障,取得重大經(jīng)濟及社會效益;某型魚雷全裝置實物水下模態(tài)試驗為魚雷的振動與噪聲控制確保導(dǎo)航性能提供了技術(shù)依據(jù);遠(yuǎn)東第一高塔的上海東方明珠電視塔的振動模態(tài)試驗,為高塔的抗風(fēng)抗地震安全性設(shè)計提供了技術(shù)依據(jù);目前世界上跨度第一的斜拉索楊浦大橋的振動試驗對大橋抗風(fēng)振動的安全性分析與故障診斷提供了技術(shù)依據(jù);建立在模態(tài)分析技術(shù)上的樁基斷裂檢測技術(shù)已在高層建筑施工中廣泛應(yīng)用,提高了樁基的質(zhì)量,確保高層建筑的安全;……等等,這些成就不勝枚舉?？傊?二十余年的發(fā)展是迅速的,成就是顯著的,回顧這一發(fā)展過程和取得的成就,可更激勵我們朝著新的目標(biāo)奮發(fā)前進。
模態(tài)分析技術(shù)發(fā)展到今天已趨成熟,特別是線性模態(tài)理論方面的研究已日臻完善,但在工程應(yīng)用方面還有不少工作可做。首先是如何提高模態(tài)分析的精度,擴大應(yīng)用范圍。增加模態(tài)分析的信息量是提高分析精度的關(guān)鍵,單靠增加傳感器的測點數(shù)目很難實現(xiàn),目前提出的一種激光掃描方法是大大增加測點數(shù)的有效辦法,測點數(shù)目的增加隨之而來的是增大數(shù)據(jù)采集與分析系統(tǒng)的容量及提高分析處理速度,在測試方法、數(shù)據(jù)采集與分析方面還有不少研究工作可做。對復(fù)雜結(jié)構(gòu)空間模態(tài)的測量分析、頻響函數(shù)的耦合、高頻模態(tài)檢測、抗噪聲干擾……等等方面的研究尚需進一步開展。
模態(tài)分析當(dāng)前的一個重要發(fā)展趨勢是由線性向非線性問題方向發(fā)展。非線性模態(tài)的概念早在1960年就由Rosenberg提出,雖有不少學(xué)者對非線性模態(tài)理論進行了研究,但由于非線性問題本身的復(fù)雜性及當(dāng)時工程實踐中的非線性問題并引引起重視,非線性模態(tài)分析的發(fā)展受到限制。近年來在工程中的非線性問題日益突出,因此非線性模態(tài)分析亦日益受到人們的重視。最近已逐步形成了所謂非線性模態(tài)動力學(xué)。
關(guān)于非線性模態(tài)的正交性、解耦性、穩(wěn)定性、模態(tài)的分叉、滲透等問題是當(dāng)前研究的重點。在非線性建模理論與參數(shù)辨識方面的研究工作亦是當(dāng)今研究的熱點。非線性系統(tǒng)物理參數(shù)的識別、載荷識別方面的研究亦已開始。展望未來,模態(tài)分析與試驗技術(shù)仍將以新的速度,新的內(nèi)容向前發(fā)展。
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